Решение:
Шаг 1: Находим частные производные первого порядка
∂u/∂x = 2x + y + 3
∂u/∂y = 3y² + x - 2z
∂u/∂z = 4z - 2y
Шаг 2: Приравниваем производные к нулю и решаем систему
2x + y + 3 = 0
3y² + x - 2z = 0
4z - 2y = 0
Из третьего уравнения: 4z - 2y = 0 ⇒ 2z = y ⇒ z = y/2
Из первого уравнения: 2x = -y - 3 ⇒ x = (-y - 3)/2
Подставляем во второе уравнение:
3y² + (-y - 3)/2 - 2*(y/2) = 0
3y² - y/2 - 3/2 - y = 0
3y² - 3y/2 - 3/2 = 0
Умножаем на 2: 6y² - 3y - 3 = 0
Делим на 3: 2y² - y - 1 = 0
Решаем квадратное уравнение:
D = (-1)² - 4*2*(-1) = 1 + 8 = 9
y = (1 ± √9)/(2*2) = (1 ± 3)/4
Получаем два решения:
- y₁ = (1 + 3)/4 = 1
- y₂ = (1 - 3)/4 = -1/2
Находим соответствующие x и z:
Для y₁ = 1:
x = (-1 - 3)/2 = -2
z = 1/2 = 0.5
Для y₂ = -0.5:
x = (-(-0.5) - 3)/2 = (0.5 - 3)/2 = -2.5/2 = -1.25
z = -0.5/2 = -0.25
Шаг 3: Находим частные производные второго порядка
∂²u/∂x² = 2
∂²u/∂y² = 6y
∂²u/∂z² = 4
∂²u/∂x∂y = 1
∂²u/∂x∂z = 0
∂²u/∂y∂z = -2
Шаг 4: Составляем матрицу Гессе и исследуем критические точки
Матрица Гессе имеет вид:
H = [ 2 1 0 ]
[ 1 6y -2 ]
[ 0 -2 4 ]
Точка M₁(-2, 1, 0.5):
Матрица Гессе в этой точке:
H(M₁) = [ 2 1 0 ]
[ 1 6 -2 ]
[ 0 -2 4 ]
Главные миноры:
- Δ₁ = 2 > 0
- Δ₂ = det([2 1; 1 6]) = 2*6 - 1*1 = 11 > 0
- Δ₃ = det(H) = 2*(6*4 - (-2)*(-2)) - 1*(1*4 - (-2)*0) + 0 = 2*(24-4) - 1*(4-0) = 2*20 - 4 = 40-4 = 36 > 0
Все миноры положительны, значит в точке M₁(-2, 1, 0.5) - локальный минимум.
Точка M₂(-1.25, -0.5, -0.25):
Матрица Гессе в этой точке:
H(M₂) = [ 2 1 0 ]
[ 1 -3 -2 ]
[ 0 -2 4 ]
Главные миноры:
- Δ₁ = 2 > 0
- Δ₂ = det([2 1; 1 -3]) = 2*(-3) - 1*1 = -6-1 = -7 < 0
- Δ₃ = det(H) = 2*((-3)*4 - (-2)*(-2)) - 1*(1*4 - (-2)*0) + 0 = 2*(-12-4) - 1*(4) = 2*(-16) - 4 = -32-4 = -36 < 0
Миноры меняют знак, значит в точке M₂(-1.25, -0.5, -0.25) - седловая точка (экстремума нет).
Результат исследования:
Функция имеет локальный минимум в точке M₁(-2, 1, 0.5)
Значение функции в точке минимума: u(-2, 1, 0.5) = (-2)² + 1³ + 2*(0.5)² + (-2)*1 - 2*1*0.5 + 3*(-2) - 1 =
= 4 + 1 + 0.5 - 2 - 1 - 6 - 1 = -4.5
В точке M₂(-1.25, -0.5, -0.25) экстремума нет (седловая точка).